Soufhos
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الموقع : Berkane MAROC
 | | موضوع: Le secret du nombre Pi الأحد 09 مايو 2010, 08:10 | |
|  Définition de π C'est le nombre par lequel il faut multiplier le diamètre du cercle pour obtenirsa circonférence. Autrement dit, c'est le rapport de la circonférence du cercle par son diamètre.Le périmètre du cercle estP= π × d où d est le diamètre.
On a aussi P = 2 × π × r où r est le rayon du cercle.Origine de la lettre π Ce rapport de la circonférence du cercle par son diamètre ne porta pasde nom pendant des siècles.Ludolph von Ceulen (vers 1600), William Oughtred (en 1647), Isaac Barrow (en 1670) utilisent la lettre π pour désigner le périmètre d'un cercle de diamètre 1.
C'est l'anglais William Jones, en 1706, qui utilise la lettre πen premier pour représenter le rapport de la circonférence du cercle par son diamètre.
π est le première lettre du mot grec "periphereia"(circonférence) et de "perimetros" (périmètre).
Ce nom est adopté et vulgarisé par le suisse Leonhard Euler en 1748.L'étude de π en tant que nombreC'est seulement au XVIIème siècle que ce rapport,pour lequel on donnait déjà des valeurs approchées, commence à être considéré comme un nombre.
En 1761, le suisse Lambert démontre que πest irrationnel, c'est à dire qu'on ne pourra jamais l'écrire sous la forme d'une fraction de deux nombres entiers.
En 1882, l'allemand Ferdinand von Lindemann démontre que π est transcendant, c'est à dire qu'il n'est solutiond'aucune équation algébrique avec des coefficients entiers. Il établit donc enfin l'impossibilité de la fameuse "quadrature du cercle" (problème qui se pose depuis l'Antiquité).Les cent premières décimales de π π≈3.141593653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286208998628034825342110679Certaines approximations de π Depuis l'Antiquité jusqu'à aujourd'hui, on essaie de donner une approximation du nombre π.
Voici un tableau donnant une idée de l'évolution de ces approximations : Nom du mathématicien ou de la civilisation | Valeur de π | Nombre de décimales exactes | Date du calcul |
Babylone
| 3 + 1/8 ≈ 3,125 | 1 | 1900
|
Egypte
| (4/3)4 ≈ 3,160 | 1 | 1600
|
Chine
| 3 | 0 | 1200
|
Bible
| 3 | 0 | 550
|
Archimède (grec)
| 3,14185 | 3 | 250
|
Hon Han Chu (chinois)
| √10 ≈ 3,16 | 1 | 130
|
Ptolémé (grec)
| 377/120 ≈ 3,1416 | 3 | 150
|
Wang Fau (chinois)
| 142/45 ≈ 3,15 | 1 | 250
|
Liu Hui (chinois)
| 3,14159 | 5 | 260
|
Tsu chung chilh (chinois)
| 355/113 ≈ 3,141592 | 6 | 480
|
Aryabhata (indien)
| 3,14156 | 4 | |
Brahmagupta (indien)
| √10 ≈ 3,16 | 1 | [center]640
|
Alkhawarizmi(arabe)
| 22/7 ≈ 3,1428 ; 3,1416 | 3 | [center]800
|
Fibonacci(italien)
| 864/275 ≈ 3,1418 | 3 | [center]1220
|
Al Kashi(arabe)
|
| 16 | [center]1430 |
Von Lauchen (allemand)
| 3,14159265 | 8 | |
Viète(français)
| 3,1415926536 | 9 | |
Romanus (hollandais)
|
| 15 | |
Van Ceulen (hollandais)
|
| 34 | |
Grienberger
|
| 39 | |
Sharp
|
| 71 | |
Machin (anglais)
|
| 100 | |
Dase (anglais)
|
| 200 | |
Shanks (anglais)
|
| 528 | |
Wrench et Fergusson
|
| 808 | |
Reitwiestner (Etats-Unis)
|
| 2 037 | |
Genuys
|
| 10 000 | |
Wrench et Shanks
|
| 100 265 | |
Guilloud et Bouyer
|
| 1 001 250 | |
Kanada et Tamura
|
| 1 073 741 799 | |
Kanada et Takahashi
|
|
50 milliards
| |
Equipe de Kanada (Japon)
|
|
1 241 milliards
| 2002 |
On peut se demander quelle est l'utilité d'une telle recherche des décimales du nombre π. Il y a des intérêts immédiats qui sont la recherche denouveaux outils mathématiques, la mise au point d'algorithmes rapides etun très bon test pour juger de la puissance des ordinateurs. Mais, il y a sans doute l'envie même de la recherche de l'infini...Exemples de méthodes pour trouver une valeur de π Le grec Archimède, en 250 avant JC, est le premier à donner une façon de calculer π. Il a écrit un traité sur la mesure du cercle où il calcule le rapport de la circonférence sur le diamètre.
Pour cela, il encadre un cercle par deux polygones réguliers, un qui sera inscrit dans le cercle et un autre qui sera exinscrit. Il calcule alors le périmètre de ces deux polygones réguliers et en fait la moyenne. Plus les polygones réguliers ont de côtés, plus la précision est grande.Archimède utilisera des polygones de 96 côtés, il trouvera les 3 premières décimales exactes de π
Jusqu'en 1600, on continue à utiliser la méthode d'Archimède mais avec un nombre impressionnant de côtés, plus d'un million pour le hollandais Van Ceulen en 1609.Ensuite, on essaie de trouver des suites de nombres qui s'approchent du nombre π. Euler, Gauss, Machin, Newton et Vièteont cherché de telles suites. L'une des plus célèbres est celle de l'allemand Leibniz, découverte vers 1680 : Il devient ainsi plus facile de calculer le nombre π.A présent, on utilise le principe des suites, mais on bénéficie de l'aide de l'ordinateur et de sa formidable puissance de calculQuelques curiosités à propos de π Pour retenir les premières décimales de π, on peut apprendre par cœur quelques lignes d'un poème et compter le nombre de lettres de chaque mot :π = PI, ses lettres sont un peu magiques : Le quotient 355 / 113, découvert par un chinois vers 480 après JC, qui donne 6 décimales exactes est aussi un peu magique.3 + 3 = 6 ; 5 + 1 = 6 ; 5 + 1 = 6Les mystiques se sont toujours demandé si π n'était pas un nombre divin.Le nombre π et la vie quotidienneLe nombre π est celui que l'on rencontre le plus souvent dans la vie quotidienne et dans la nature puisque tout ce qui a une forme circulaire exige un calcul utilisant ce nombre que ce soit une longueur, une aire ou un volume.
Or, les planètes, les plantes, les animaux, les atomes ainsi que les constructions de l'homme ont besoin de modèles qui utilisent un moment le cercle ou l'arc de cercle et nécessitent l'usage du nombre π[/center][/center] | |
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